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Unevariation de 3 dB est identi˜able, mais il faut une augmentation de 10 dB pour donner une impression flagrante changement. Comment évaluer le niveau sonor e qui vous entour ? •Si, l o rsq u ev tz à nmè d’ autre personne, vous pouvez avoir une conversation no rm al e, iv ust fé à 70 dB. • Si vous de ez éle er la oix, le niv au est à 80 dB. • S’il faut crier pour vous aire Lafiche du numéro de téléphone 03 20 55 76 64 de Lille a été consultée 86 fois.. Le 03 20 55 76 64 est un numéro de téléphone de type géographique.. Aucun internaute n'a laissé son avis sur la ligne +33320557664, soyez le premier !. Format de numéros rencontrés : +33320557664 / -64 / 03.20.55.76.64 Envertu de ces principes et de celui de la libre détermination des peuples, la République offre aux territoires d'outre-mer qui manifestent la volonté d'y adhérer des institutions nouvelles fondées sur l'idéal commun de liberté, d'égalité et de fraternité et conçues en vue de leur évolution démocratique. Article 1. Lafiche du numéro de téléphone 03 20 04 10 37 de Lille a été consultée 240 fois.. Le 03 20 04 10 37 est un numéro de téléphone de type géographique.. Aucun internaute n'a laissé son avis sur la ligne +33320041037, soyez le premier !. Format de numéros rencontrés : +33320041037 / -37 / 03.20.04.10.37 Calculatricede TVA 2.0. Utilisez dès maintenant notre calculatrice 2.0 disponible ci-dessus gratuitement pour obtenir un montant hors taxe à partir d'un montant TTC et vice-versa. Pour bien vous en servir c'est très simple, choisissez le taux de TVA concerné et saisissez soit le montant HT, soit le montant TTC. 33 3 23 0; 03 23 0 - Meilleures réponses; 03 20 indicatif - Meilleures réponses; D OU VIENS CE NUMERO 03 20?? - Forum - Mobile; 09 54 03 20 91 - Forum - Mobile; 03 20 84 55 65 - Forum - Mobile; Numero 03 - Forum - Mobile; à qui est ce numéro 03 - Guide ; 15 réponses. Réponse 1 / 15. Meilleure réponse. petrocor24 Modifié par baladur13 le 30/06/2016 à 00:59. je viens de LurcyLévis 03320 Hier, 21:59. 4. Kioti CX 2510. Pro. Jouy-aux-Arches 57130 Tracteur kubota moteur diesel 3 cylindres équipé d'un chargeur godet terre neuf/ SAS TERRE ET NATURE. Pro. 10 490 € Les Avenières Veyrins-Thuellin 38630 Hier, 19:33. 1. Micro tracteur . 6 FLORIDALOTTERY: Winning Numbers History: 23-AUG-2022: Page 3 of 15: Please note every effort has been made to ensure that the enclosed information is accurate; however, in the event of an error, the winning numbers in the official record 64e régiment d'artillerie de défense contre avion ; 65 e régiment d'artillerie de défense contre avion. En août 1918, répartition du 63 e en 4 régiments spécialisés (incluant le 63 e) soit la création de 3 nouveaux régiments : 66 e régiment d'artillerie de défense contre avion ; 67 e régiment d'artillerie de défense contre avion ; B1TgYN. Background. Equipped with two stationary detectors, a large bore collimator for medium-sized animals has been recently introduced for dedicated preclinical single-photon emission computed tomography SPECT imaging. We aimed to evaluate the basic performance of the system using phantoms and healthy rabbits. Methods. A general-purpose medium-sized animal GP-MSA collimator with 135 mm bore diameter and thirty-three holes of mm diameter was installed on an ultrahigh-resolution scanner equipped with two large stationary detectors U-SPECT5-E/CT. The sensitivity and uniformity were investigated using a point source and a cylinder phantom containing 99mTc-pertechnetate, respectively. Uniformity in % was derived using volumes of interest VOIs on images of the cylinder phantom and calculated as , with lower values of % indicating superior performance. The spatial resolution and contrast-to-noise ratios CNRs were evaluated with images of a hot-rod Derenzo phantom using different activity concentrations. Feasibility of in vivo SPECT imaging was finally confirmed by rabbit imaging with the most commonly used clinical myocardial perfusion SPECT agent [99mTc]Tc-sestamibi dynamic acquisition with a scan time of 5 min. Results. In the performance evaluation, a sensitivity of 790 cps/MBq, a spatial resolution with the hot-rod phantom of mm, and a uniformity of were achieved. The CNRs of the rod size mm were and for activity concentration of and MBq/mL, respectively. Dynamic SPECT imaging in rabbits allowed to visualize most of the thorax and to generate time-activity curves of the left myocardial wall and ventricular cavity. Conclusion. Preclinical U-SPECT5-E/CT equipped with a large bore collimator demonstrated adequate sensitivity and resolution for in vivo rabbit imaging. Along with its unique features of SPECT molecular functional imaging is a superior collimator technology that is applicable to medium-sized animal models and thus may promote translational research for diagnostic purposes and development of novel IntroductionRabbits are essential experimental animals for biomedical research. Basic and translational scientists mainly use small rodents such as mice and rats to reduce housing and maintenance costs. However, many unique features of rabbits render this species attractive for investigations in various medical specialties, such as cardiology [1, 2], immunology [3], and microbiology [4, 5]. As a major advantage, rabbits are phylogenetically closer to humans than rodents [6]. One example is that uptake-2, one of the critical mechanisms of norepinephrine reuptake into cardiomyocytes to maintain cardiac nerve integrity, has substantially lower expression levels in human and rabbit hearts, while it is highly expressed in mouse and rats [7–9]. For instance, those superior cross-species translational abilities of rabbit myocardium may be relevant for the development and testing of novel cardiac sympathetic nerve system-targeting therapies. Furthermore, the bigger organ size is a fundamental advantage for various biomedical assays including in vivo imaging technologies which have limited spatial resolution [10–15].Given the increasing demand of functional molecular imaging of animals, single-photon emission computed tomography SPECT has been evolved over the last decades. These include, but are not limited to 16-camera small animal SPECT scanner with modular scintillation cameras FastSPECT II with active areas of up to 130 cm2 [16] or equipped with cadmium zinc telluride detectors SemiSPECT [17]. Despite those important technological advances in the context of small animal SPECT, imaging medium-sized animals such as rabbits using single-photon emission computed tomography SPECT have not been well established when compared to preclinical imaging of small rodents. In this regard, most preclinical SPECT systems have been developed exclusively for the investigation of mouse or rat experiments, for rabbits’ larger bore sizes >10 cm are needed to ensure that the animals will adequately fit into the scanner. Often, as a substitute, human clinical SPECT cameras are used in rabbit experiments, but they have limited spatial resolution >1 cm and do not provide adequate image quality to delineate small organs [12, 14, 15].Recently, dedicated medium-sized animal SPECT imaging systems with large bore multipinhole collimators on high-resolution animal SPECT systems with large stationary detectors have been introduced. Therefore, the purpose of this study is to investigate the performance of the SPECT system with phantoms and in vivo animal experiments using rabbits along with dynamic image acquisition, as the herein applied U-SPECT5-E/CT defines the duration and frames prospectively relative to other commercially available SPECT/CT Materials and Scanner SystemU-SPECT5/CT E-class MILabs, Utrecht, The Netherlands was used for SPECT imaging, displayed in Figures 1a and 1b. The system performance using dedicated collimators for mice and rats had been reported elsewhere [18, 19]. Briefly, U-SPECT5-E was developed as a cost-effective substitute of the conventional U-SPECT5 system, which is also an ultrahigh-resolution SPECT system for preclinical imaging of small animals. The architecture of U-SPECT5 is based on previous generations of micro-SPECT systems U-SPECT-II; U-SPECT+; MILabs [20, 21] and has three stationary detectors with a size of and mm thick thallium-doped sodium iodide scintillation crystals arranged in a triangular format around the field of view FOV. A centrally located collimator with multipinhole configuration allows the acquisition of SPECT images in a spiral step mode using an automated xyz stage [22]. To strive for cost effectiveness, U-SPECT5/CT E-class is built without the bottom detector [18, 19].The U-SPECT5-E has a tubular protrusion on the back of the scanner Figure 1b, which can be opened to hold a 94 cm long bed for medium-sized animals Figure 1c. A general-purpose medium-sized animal type GP-MSA Figure 1d collimator has a wide bore of 135 mm diameter and 33 pinholes with mm diameter aperture Figure 1e. All the pinholes point towards a center FOV cFOV of 65 mm diameter and 20 mm length, which enables to acquire SPECT images of wide areas without bed movement. Due to the missing bottom detector, only the upper 22 pinholes contribute to the imaging process in the U-SPECT5-E/CT system. Since this scanner also has an X-ray irradiation capability, it can also acquire computed tomography CT and X-ray scout views Figure 1f. Image Reconstruction and Data ProcessingAll images were acquired in list-mode and reconstructed with the similarity-regulated ordered-subset expectation maximization SROSEM algorithm [23], as provided with the dedicated software Version of the SPECT system. This algorithm allows to avoid artifacts caused by a higher number of subsets causing potential quantification errors [24]. For scatter correction, we applied the triple energy window method [25] with a 20% photopeak window of 126 keV to 154 keV for a 99mTc photopeak of 140 keV, a lower background window of keV to 126 keV, and an upper one of 154 keV to keV. For simplifying the reconstruction process, we always used 8 iterations with 32 subsets and a voxel size of mm3. The obtained SPECT images were transferred to the AMIDE software version for Windows; open source [26] for further analysis including Gaussian postfiltering, which was applied as recommended by Vaissier et al. [23]. This approach showed no perceptible decrease in image quality compared to the reference standard of maximum likelihood expectation maximization MLEM [27]. Performance MeasurementsSensitivity was examined using a point source with a 99mTc-pertechnetate solution of MBq. Scan time was 5 min without bed motion. Calculation was based on the National Electrical Manufacturers Association NEMA [28] as follows where is the detected count rate in the photopeak window of 126 keV to 154 keV and is the total activity of the point source determined by a dose calibrator ISOMED 2010, NUVIA Instruments, Dresden, Germany.Uniformity was investigated using a 28 mm diameter cylindrical phantom filled homogenously with 99mTc-pertechnetate solution of MBq/mL, and the scan time was 5 min without bed motion. Gaussian postfiltering was applied with a full width at half maximum FWHM of mm, equal to the resolution in the activity concentration of MBq/mL. A cylindrical volume of interest VOI was placed centrally in the phantom, measuring 25 mm in diameter and 5 mm in length. Uniformity was calculated as recommended by NEMA [28] as follows In addition, a line profile was measured by placing a line passing through the center of the phantom to evaluate smooth or irregular patterns in the resolution was evaluated using a hot-rod phantom whose general features are shown in the Supplementary Figure 1. The diameter of its rods ranges from to mm. In each section, the intercapillary distance equals the respective rod diameter of that section. The phantom was filled with a 99mTc-pertechnetate solution and placed in the center of the cFOV. The cFOV of GP-MSA collimator was wide enough to cover the whole phantom without bed motion. When the activity concentration of 99mTc was and MBq/mL, SPECT scanning was performed for 20 min with one bed position. Gaussian postfiltering was applied with a FWHM of mm, corresponding the minimum rod size. In the visual analysis of the reconstructed images, the smallest discriminable rod size was determined to describe the collimator-dependent spatial Phantom Image QualityTo evaluate the in vitro image quality, contrast-to-noise ratio CNR analysis was performed using the images optimized with Gaussian postfiltering for each rod size. FWHM was set to the diameter size of each investigated rod section to enhance image quality [19]. The technique for setting VOIs in the hot-rod phantom was adopted from the method described by Walker et al. [29]. Using a high-resolution computed tomography CT image as a template, cylindrical VOIs of 4 mm length were placed in the height center of the rods. All VOIs have a diameter of times the size of the respective radioactive rod. In addition, VOIs of the same size as radioactive rods were placed in the nonradioactive areas in-between two radioactive rods. The same size VOIs were also place in 4 mm upper and lower slices in axis as shown in Figure 2a. The contrast was defined as follows where is the mean of mean values of all radioactive VOIs for the rod size and is the mean of all nonradioactive VOIs. The noise was defined as follows where is the mean of standard deviations of all radioactive VOIs for the rod size and is the mean of standard deviations of all nonradioactive VOIs. is the mean of mean values of both radioactive and nonradioactive VOIs for the rod size .The CNR for each size rod was defined as follows The measurement for CNR was repeated three times for three VOIs in each radioactive and nonradioactive area, and the mean of three CNRs was calculated for each In Vivo Cardiac SPECT Images Using GP-MSA CollimatorAnimal protocols were approved by the local Animal Care and Use Committee Regierung von Overfranken, Germany and conducted according to the Guide for the Care and Use of Laboratory Animals [30]. During in vivo imaging, the animals underwent inhalation anesthesia isoflurane, L O2/min. A healthy male New Zealand White rabbit Charles River Laboratories Inc., Sulzfeld, Germany with 970 g body weight was placed on the dedicated bed for medium-sized animals. SPECT imaging was conducted after CT to confirm the precise position of the heart. The dynamic SPECT acquisition started just before injection of MBq of [99mTc]Tc-sestamibi MIBI [31] via the ear vein, with a scan time of 5 min sec-frames, sec-frame, and sec-frames. After reconstruction, Gaussian postfiltering was applied with FWHM of 5 mm. Two oval-shaped VOIs were placed centrally in the anterior wall of the left ventricle and in the left atrium, and time activity curves were created. Static acquisition started 15 min after the injection with a scan time of 30 min. Another rabbit with 1300 g body weight was scanned in the same way to confirm the reproducibility of the a reference, the GP-MSA collimator imaging with a male Wistar rat Charles River Laboratories Inc., Sulzfeld, Germany with 250 g body weight was conducted after [99mTc]Tc-MIBI 200 MBq administration via tail vein. Twenty-five minutes after injection, static SPECT imaging was conducted with an acquisition time of 10 min following CT acquisition. Gaussian postfiltering was not applied. Fusion images of CT and SPECT were created with software solutions such as AMIDE [26].3. Sensitivity and Uniformity MeasurementsSensitivity of the point source was 790 cps/MBq Uniformity for the GP-MSA collimator was in accordance with the NEMA protocol. Figure 3 illustrates the representative reconstructed images for uniformity and line profiles. The profile of horizontal lines appears to be slightly more irregular than that of vertical lines. Figure 2b provides the SPECT images of the hot-rod phantom used for spatial resolution analysis. In visual analysis, increased image noise was noted for lower activities. A minimum diameter of mm clearly discriminated even in MBq/mL, thereby representing spatial resolution. On the other hand, a discrimination of rods of mm and smaller was not possible, even when the highest activity concentration was applied.ab Phantom Image QualityFigure 2c shows the results of CNR analysis of the six rod sizes for four different activity concentrations. The CNRs of the rod size mm were and for activity concentration of and MBq/mL, respectively. For all activity concentrations, CNR improved continuously with increasing rod size. Although the CNR of higher activity concentrations tended to be higher in rod sizes over mm, the tendency disappeared in rod sizes of mm and smaller. CNR values of a rod size of mm and smaller were almost negative for all activity concentrations. A CNR of was achieved for over MBq/mL at rod sizes of more than mm and for over MBq/mL at rod sizes of more than Dynamic Myocardial Perfusion SPECT Images of Rabbits and RatsIn vivo SPECT images of the rabbit and rat are shown in Figures 4 and 5. The images of the whole lungs and heart of the rabbit were obtained without bed motion. Dynamic myocardial perfusion SPECT images of the investigated healthy rabbit were successfully generated Figure 4a. The background activity gradually decreased, and cardiac uptake was clearly seen 3-5 min after injection. Time activity curves show the dynamic changes of cardiac and blood pool activity Figure 4b. Imaging results were confirmed by SPECT of the second rabbit. Static SPECT images could be accurately fused with CT images Figure 4c. The size of the GP-MSA collimator along with its substantially wide cFOV can easily cover the heart and lung regions of a rabbit Figure 5a and rat Figure 5b.ab4. DiscussionIt is known that SPECT image quality is strongly influenced by collimator design. In this study, one of the first commercially available medium-sized animal GP-MSA collimators for high-resolution animal SPECT imaging systems was investigated using phantom and in vivo dynamic imaging in rabbits. The GP-MSA collimator achieved a high sensitivity of 790 cps/MBq, which is comparable with previously reported values for general-purpose mouse type GP-M collimators 847 cps/MBq [19]. The spatial resolution was mm, thereby indicating that the spatial resolution of collimators roughly corresponded to each aperture diameter [18, 19, 21, 32]. We included relatively low concentrations of MBq/mL in our phantom experiments, because the amount of tracer that can be administered as well as the scan duration is limited in a busy in vivo animal experiment set-up with a high the CNR analysis, CNR values of were achieved at rod sizes of mm and larger. Rapid decrease was confirmed for rod sizes of mm and smaller for all activity concentrations. This result was corresponding to the visual analysis of spatial resolution. Considering its performance, it seems to be impossible to obtain a spatial resolution of 2 mm and less using this collimator. The feature of this collimator is to achieve a wide cFOV instead of a high spatial resolution. Given that the weight of a rabbit is more than 30 times heavier than that of a mouse, and that each organ is more than three times as big, this collimator should be able to address the larger body size and habitus of was slightly worse than the of the GP-M collimator for the same scanner [19]. Direct comparison of those two collimators is not appropriate because the voxel size during reconstruction and FWHM in Gaussian postfiltering were different for each collimator. Furthermore, when using the GP-MSA collimator, a single bed position scan was used because the cFOV of the collimator is wide enough to cover the whole phantom, while multiple bed positions are needed for other collimators such as GP-M. To be noted, using GP-MSA, we found that the horizontal line profile appeared slightly more irregular when compared to the vertical one. This might be a characteristic artifact of scanners with two detectors and needs to be confirmed by direct comparison of two- and three-detector SPECT advantage of the GP-MSA collimator is exclusively the wide cFOV. As shown in Figure 5a, the size of its cFOV is 65 mm and thus sufficiently wide to scan the rabbits’ thoraces. Generally, the disadvantage of pinhole collimators is a narrow cFOV. For example, the short-axis size of a rabbit heart is approximately 20 mm. The size of the cFOV of the collimator for rats is 28 mm [18], thereby insufficient to visualize any uptake of the rabbit’s heart without bed motion. When qualitative evaluation is conducted in SPECT images, ratios of the target to the normal organs such as the blood pool and muscles are often used. The GP-MSA collimator allows to visualize almost the whole transaxial area of the rabbit and to analyze the target uptake as compared with radiotracer accumulation in other organs. The fact that we were able to perform dynamic imaging of rabbit thoracic organs in this study is an advancement for future SPECT imaging of rabbits. Future studies investigating performance of U-SPECT5-E/CT may also repeat the herein presented experiments using lower amounts of activities, as less injected MBq may also impact scanner accuracy. However, the required large amount of activity to achieve sufficient diagnostic accuracy may be also limitation for other studies, tumor-targeting radiopharmaceuticals that are highly susceptible to the current receptor ConclusionsWe evaluated the performance of GP-MSA collimator on the U-SPECT5-E/CT for medium-sized animals such as rabbits. In this particular setting, the wide cFOV of the collimator was suitable for imaging medium-sized animals with SPECT in various purposes including dynamic in vivo AvailabilityAll data is available on request to the corresponding of InterestAll authors declare that there are no conflict of interest as well as consent for scientific analysis and Matsusaka and Rudolf A. Werner contributed equally to this study was funded by Deutsche Forschungsgemeinschaft DFG grant numbers 362993054, CRC1525, and 453989101. This project is partially funded by the Okayama University “RECTOR” Program and KAKENHI grants JSPS19KK0215 and 21K19450 from the Japan Society for the Promotion of Science. We thank Takayuki Kanno, Jan Vincent Hoffmann, and Jan Paul Janssen for their experimental MaterialsSupplementary Figure 1 design of a Derenzo type phantom for animal scanners 10111-21-2-008. Photographs of the phantom are displayed in the upper row, while lower images show the transaxial and coronal images of X-ray computed tomography. The phantom contains an acryl column whose height and width are 16 mm and 36 mm, respectively. The column has 6 different groups of rods whose diameters range from to mm. The distance between each lot is equal to the diameter of the respective rod in that section. Supplementary MaterialsCopyrightCopyright © 2022 Yohji Matsusaka et al. This is an open access article distributed under the Creative Commons Attribution License, which permits unrestricted use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited. Les plaques de placo sont des panneaux de plâtre servant à créer des cloisons, des plafonds ou des planchers. Que ce soit pour le doublage de murs porteurs, la conception de cloisons ou d'un plafond, ces matériaux se déclinent en plusieurs versions adaptées à des usages précis. La plaque de BA13 hydrofuge, de couleur verte, est spécialement conçue pour les pièces humides comme les salles de bains. Le placo rose est quant à lui résistant au feu, l'idéal autour d'un poêle. Découvrez toutes nos plaques et panneaux d'aménagement. Communément appelée placo » ou BA13 », la plaque de plâtre est un matériau de finition très apprécié pour le cloisonnement, les murs et les plafonds. Plutôt légère, elle est facile à installer et réclame une maintenance minimale. Il existe de nombreux types de plaques de plâtre différents, dont des modèles hydrofuges, isolés phoniquement ou ignifugés… Quel que soit le type de plaque que vous recherchiez, vous le trouverez facilement chez Brico Dépôt. Vous pouvez les retirer en magasin ou bénéficier de la livraison gratuite. Comment bien choisir sa plaque de plâtre ? Les plaques de plâtre se déclinent en différents modèles adaptés à toutes les utilisations. Les plaques ignifugées ont subi un traitement qui ralentit la combustion afin de résister au feu. Elles sont idéales et obligatoires pour les cloisons autour d'inserts de cheminée, derrière les fours et les plaques de cuisine et aux alentours des appareils de chauffage. Les plaques de plâtre hydrofuges ont été traitées pour résister à l’humidité, aux moisissures et au pourrissement. C’est donc un choix naturel pour les pièces d’eau, la cuisine, mais aussi les sous-sols humides ou les greniers. Les plaques isolées phoniquement conviennent bien à la réalisation de cloisons intérieures. Vous pouvez par exemple les utiliser entre deux chambres ou entre un salon et une chambre pour limiter la diffusion des bruits. Autre option disponible pour vos travaux, les panneaux d’agencement sont des plaques de plâtre particulières, conçues pour la construction de cloisons ou la réalisation de murs intérieurs. Elles intègrent aussi un isolant ou un revêtement hydrofuge ou ignifuge, selon les modèles. Plus épais, ce système à l’avantage de se glisser directement dans une ossature métallique ou une ossature bois pour une intégration facile. Différentes épaisseurs pour s'adapter à vos besoins Brico Dépôt vous propose des plaques de plâtre de différentes épaisseurs. Les plus communes sont les plaques BA13 d’une épaisseur de 13 mm. Elles conviennent à presque toutes les utilisations. Le sigle BA signifie qu'elles disposent de 2 bords amincis, qui permet la pose de joints entre deux plaques afin d’obtenir une finition soignée. De la même manière, une plaque dite BD comporte des bords droits et doit être intégralement couverte par de l’enduit après pose afin d’effacer les démarcations. Les plaques de 80 mm d’épaisseur sont généralement constituées d’une plaque BA13 classique ou de polystyrène qui améliore l’isolation phonique et thermique. Vous pouvez aussi recréer le même système en achetant séparément vos BA13 et vos plaques de polystyrène pour l’isolation. Les plaques dotées de 4 bords amincis conviennent plus particulièrement à la réalisation des plafonds et des cloisons hautes. Leurs bords amincis facilitent la pose du joint, offrant ainsi un rendu parfaitement lisse et plat. Côté dimension, il en existe en 2,50mx1,20m standard, 2,50mx0,60m 1/2 plaque, plus facile à transporter car plus léger et les 1,25x0,60 1/4 de plaque facile à transporter et à installer, destinées à des petits espaces. Pour que vous puissiez vous y retrouver plus facilement, toutes les fiches produits mentionnent les dimensions des plaques de plâtre, leur composition, leur mode de pose, ainsi que tous les détails à connaitre. Quel est le prix d'une plaque de BA13 ? Les plaques de plâtre BA13 sont disponibles à partir de 2 € environ le mètre carré chez Brico Dépôt. Ce prix correspond aux modèles les plus simples, sans isolation ni traitement particulier. Si vous souhaitez acquérir des plaques de plâtre hydrofuges, il faut compter de 6 à 10 € le mètre carré environ. Les plaques ignifuges commencent à 8 € environ le mètre carré et les plaques isolées acoustiquement à 5 € le mètre carré. MathématiquesArithmétiqueDiviseurs d'un Nombre Calcul des Diviseurs d'un Nombre Vérifier un diviseur Réponses aux Questions FAQ Qu'est ce qu'un diviseur ? Définition Le nombre entier $ b $ non nul $ b \in \mathbb{N}_{>0} $ est un diviseur du nombre entier $ a $ $ \in \mathbb{N} $ si il existe un nombre entier $ c $ $ \in \mathbb{N} $ tel que $ c = a/b $ NB $ c $ est un nombre entier, sans virgule. Dans ce cas, $ c $ est représenté comme une division de $ a $ par $ b $ donc $ b $ est bien un diviseur de $ a $ $ a $ est divisible par $ b $. Par équivalence, $ a $ peut être représenté comme une multiplication de $ b $ par $ c $ $ a = b \times c $, donc $ a $ est un multiple de $ b $ et de $ c $, et donc $ b $ et $ c $ sont des diviseurs de $ a $. Comment calculer la liste des diviseurs d'un nombre N ? La méthode facile consiste à tester tous les nombres $ n $ entre $ 1 $ et $ \sqrt{N} $ racine carrée de $ N $ pour voir si le reste de la division de $ N $ par $ n $ est égal à $ 0 $. Exemple $ N = 10 $, $ \sqrt{10} \approx $, or $ 1 $ et $ 10 $ sont forcément des diviseurs, il reste à tester $ 2 $, $ 10/2=5 $, donc $ 2 $ et $ 5 $ sont diviseurs de $ 10 $, puis tester $ 3 $, $ 10/3 = 3 + 1/3 $, donc $ 3 $ n'est pas un diviseur de $ 10 $. Une autre méthode calcule les facteurs premiers et par combinaisons en déduit les facteurs. Exemple $ 10 = 2 \times 5 $, les diviseurs sont donc $ 1 $, $ 2 $, $ 5 $, et $ 2 \times 5 = 10 $ Les diviseurs négatifs existent aussi, mais ce sont les mêmes que les diviseurs positifs au signe près, ils sont donc ignorés. Quelle est la liste des diviseurs de 1 à 100 ? NombreListe des DiviseursDiviseur de 11Diviseurs de 21,2Diviseurs de 31,3Diviseurs de 41,2,4Diviseurs de 51,5Diviseurs de 61,2,3,6Diviseurs de 71,7Diviseurs de 81,2,4,8Diviseurs de 91,3,9Diviseurs de 101,2,5,10Diviseurs de 111,11Diviseurs de 121,2,3,4,6,12Diviseurs de 131,13Diviseurs de 141,2,7,14Diviseurs de 151,3,5,15Diviseurs de 161,2,4,8,16Diviseurs de 171,17Diviseurs de 181,2,3,6,9,18Diviseurs de 191,19Diviseurs de 201,2,4,5,10,20Diviseurs de 211,3,7,21Diviseurs de 221,2,11,22Diviseurs de 231,23Diviseurs de 241,2,3,4,6,8,12,24Diviseurs de 251,5,25Diviseurs de 261,2,13,26Diviseurs de 271,3,9,27Diviseurs de 281,2,4,7,14,28Diviseurs de 291,29Diviseurs de 301,2,3,5,6,10,15,30Diviseurs de 311,31Diviseurs de 321,2,4,8,16,32Diviseurs de 331,3,11,33Diviseurs de 341,2,17,34Diviseurs de 351,5,7,35Diviseurs de 361,2,3,4,6,9,12,18,36Diviseurs de 371,37Diviseurs de 381,2,19,38Diviseurs de 391,3,13,39Diviseurs de 401,2,4,5,8,10,20,40Diviseurs de 411,41Diviseurs de 421,2,3,6,7,14,21,42Diviseurs de 431,43Diviseurs de 441,2,4,11,22,44Diviseurs de 451,3,5,9,15,45Diviseurs de 461,2,23,46Diviseurs de 471,47Diviseurs de 481,2,3,4,6,8,12,16,24,48Diviseurs de 491,7,49Diviseurs de 501,2,5,10,25,50Diviseurs de 511,3,17,51Diviseurs de 521,2,4,13,26,52Diviseurs de 531,53Diviseurs de 541,2,3,6,9,18,27,54Diviseurs de 551,5,11,55Diviseurs de 561,2,4,7,8,14,28,56Diviseurs de 571,3,19,57Diviseurs de 581,2,29,58Diviseurs de 591,59Diviseurs de 601,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60Diviseurs de 611,61Diviseurs de 621,2,31,62Diviseurs de 631,3,7,9,21,63Diviseurs de 641,2,4,8,16,32,64Diviseurs de 651,5,13,65Diviseurs de 661,2,3,6,11,22,33,66Diviseurs de 671,67Diviseurs de 681,2,4,17,34,68Diviseurs de 691,3,23,69Diviseurs de 701,2,5,7,10,14,35,70Diviseurs de 711,71Diviseurs de 721,2,3,4,6,8,9,12,18,24,36,72Diviseurs de 731,73Diviseurs de 741,2,37,74Diviseurs de 751,3,5,15,25,75Diviseurs de 761,2,4,19,38,76Diviseurs de 771,7,11,77Diviseurs de 781,2,3,6,13,26,39,78Diviseurs de 791,79Diviseurs de 801,2,4,5,8,10,16,20,40,80Diviseurs de 811,3,9,27,81Diviseurs de 821,2,41,82Diviseurs de 831,83Diviseurs de 841,2,3,4,6,7,12,14,21,28,42,84Diviseurs de 851,5,17,85Diviseurs de 861,2,43,86Diviseurs de 871,3,29,87Diviseurs de 881,2,4,8,11,22,44,88Diviseurs de 891,89Diviseurs de 901,2,3,5,6,9,10,15,18,30,45,90Diviseurs de 911,7,13,91Diviseurs de 921,2,4,23,46,92Diviseurs de 931,3,31,93Diviseurs de 941,2,47,94Diviseurs de 951,5,19,95Diviseurs de 961,2,3,4,6,8,12,16,24,32,48,96Diviseurs de 971,97Diviseurs de 981,2,7,14,49,98Diviseurs de 991,3,9,11,33,99Diviseurs de 1001,2,4,5,10,20,25,50,100 Utiliser le formulaire en haut de cette page pour avoir la liste des diviseurs d'autres nombres. Quels sont les critères de divisibilité ? Les critères de divisibilités sont des moyens détournés pour savoir si un nombre est divisible par un autre sans directement faire le calcul. Voici une liste non exhaustive des principaux critères de divisibilités en base 10 — Critère de divisibilité par $ 1 $ tout nombre entier est divisible par $ 1 $ — Critère de divisibilité par $ 2 $ tout nombre multiple de $ 2 $ possède un chiffre pair pour chiffre des unités, donc le dernier chiffre est $ 0 $ ou $ 2 $ ou $ 4 $ ou $ 6 $ ou $ 8 $. — Critère de divisibilité par $ 3 $ tout nombre multiple de $ 3 $ a pour somme des chiffres un nombre qui est aussi multiple de $ 3 $, et par conséquent la racine numérique du nombre est $ 0 $ ou $ 3 $ ou $ 6 $ ou $ 9 $ — Critère de divisibilité par $ 4 $ tout nombre multiple de $ 4 $ a comme somme du chiffre des unités et du double du chiffre des dizaines un nombre aussi divisible par 4. Variante les 2 derniers chiffresdizaines et unités de tout nombre multiple de $ 4 $ sont divisibles par $ 4 $ donc par $ 2 $ puis encore par $ 2 $ — Critère de divisibilité par $ 5 $ tout nombre multiple de $ 5 $ pour chiffre chiffre des unités $ 0 $ ou $ 5 $ — Critère de divisibilité par $ 6 $ tout nombre multiple de $ 6 $ valide les critères de divisibilité par $ 2 $ et par $ 3 $ — Critère de divisibilité par $ 7 $ tout nombre multiple de $ 7 $ a une somme de son nombre total de dizaines tous les chiffres sauf le dernier et de cinq fois son chiffre des unités également divisible par 7 critère à répéter en boucle — Critère de divisibilité par $ 8 $ tout nombre multiple de $ 8 $ a pour somme du chiffre des unités, du double du chiffre des dizaines et du quadruple du chiffre des centaines un nombre aussi divisible par 8. — Critère de divisibilité par $ 9 $ tout nombre multiple de $ 9 $ a pour somme des chiffres un nombre qui est aussi multiple de $ 9 $, et par conséquent la racine numérique du nombre est $ 9 $. — Critère de divisibilité par $ 10 $ tout nombre multiple de $ 10 $ a pour dernier chiffre $ 0 $. Quel est l'algorithme pour trouver les diviseurs d'un nombre ? Noter N le nombre, Initialiser la liste des diviseurs Pour i valant de 2 jusque racine de N, Tenter de diviser N par i Si le reste de la division est 0, alors ajouter i à la liste des diviseurs Fin pour Retourner la liste des diviseurs Quels sont les nombres qui ont exactement 2 diviseurs ? Les nombres qui ont seulement 2 diviseurs sont les nombres premiers. Ils ont comme diviseurs $ 1 $ et eux-mêmes. Quels sont les nombres qui ont exactement 3 diviseurs ? Les nombres qui ont 3 diviseurs sont les carrés parfaits des nombres premiers soient 4, 9, 25, 49, etc. Exemple 2^2 = 4, et 4 a trois diviseurs {1,2,4}3^2 = 9, et 9 a trois diviseurs {1,3,9}5^2 = 25, et 25 a pour diviseurs {1,5,25} Quels sont les nombres qui ont exactement 5 diviseurs ? Les nombres qui ont 5 diviseurs sont les nombres de la forme $ a^4 $ avec $ a $ un nombre premier. Exemple 2^4 = 16, et 16 a cinq diviseurs 1,2,4,8,163^4 = 81, et 81 a cinq diviseurs 1,3,9,27,81 Quels sont les diviseurs de zéro 0 ? Le nombre $ 0 $ a une infinité de diviseurs, car tous les nombres divisent $ 0 $ et le résultat vaut $ 0 $ excepté pour $ 0 $ lui-même car la division par $ 0 $ n'a pas de sens, il est possible toutefois de dire que $ 0 $ est un multiple de $ 0 $. $$ \frac{0}{n} = 0, n \neq 0 $$ Quel nombre est diviseur de tous les nombres ? Le nombre 1 divise tous les nombres. Qu'est ce qu'un nombre parfait ? Définition Un nombre parfait est un nombre entier naturel N non nul dont la somme des diviseurs hormis N est égale à N. Exemple $ 6 $ a pour diviseurs $ 3 $, $ 2 $ et $ 1 $. Or la somme $ 3+2+1=6 $, donc $ 6 $ est un nombre parfait. Exemple Les premiers nombres parfaits sont 6, 28, 496, 8128, 33550336, 8589869056, 137438691328, etc. Qu'est ce qu'un nombre abondant ? Définition Un nombre abondant est un nombre entier naturel $ N $ non nul dont la somme des diviseurs hormis $ N $ est supérieure à $ N $. Exemple $ 12 $ a pour diviseurs 6, 4, 3, 2 et 1. Or la somme $ 6+4+3+2+1=15 $ est supérieure à 12, donc 12 est un nombre abondant. Exemple Les premiers nombres abondants sont 12, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 66, 70, 72, 78, 80, 84, 88, 90, 96, 100, etc. Qu'est ce qu'un nombre super-abondant ? Définition Un nombre superabondant est un nombres qui a plus de diviseurs que n'importe quel nombre plus petit que lui. Exemple $ 12 $ est super-abondant car il a 6 diviseurs 1,2,3,4,6,12 et aucun autre nombre plus petit que lui n'a au moins 6 diviseurs. Les premiers nombres abondants sont 1 1 diviseur, 2 2 diviseurs, 4 3 diviseurs, 6 4 diviseurs, 12 6 diviseurs, 24 8 diviseurs, 36 9 diviseurs, 48 10 diviseurs, 60 12 diviseurs, 120 16 diviseurs, 180 18 diviseurs, 240 20 diviseurs, 360 24 diviseurs, 720 30 diviseurs, 840 32 diviseurs, 1260 36 diviseurs, 1680 40 diviseurs, 2520 48 diviseurs, 5040 60 diviseurs, 10080 72 diviseurs, 15120 80 diviseurs, 25200 90 diviseurs, 27720 96 diviseurs, 55440 120 diviseurs, 110880 144 diviseurs, 166320 160 diviseurs, 277200 180 diviseurs, 332640 192 diviseurs, 554400 216 diviseurs, 665280 224 diviseurs, 720720 240 diviseurs, 1441440 288 diviseurs, 2162160 320 diviseurs, 3603600 360 diviseurs, 4324320 384 diviseurs, 7207200 432 diviseurs, 8648640 448 diviseurs, 10810800 480 diviseurs, 21621600 576 diviseurs Qu'est ce qu'un nombre déficient ? Définition Un nombre déficient est un nombre entier naturel N non nul dont la somme des diviseurs hormis N est inférieure à N. Exemple $ 4 $ a pour diviseurs 2 et 1. Or 2+1=3 qui est inférieur à 4, donc 4 est un nombre déficient. Exemple Les premiers nombres déficients sont 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 16, 17, 19, 21, 22, 23, 25, 26, 27, 29, 31, 32, 33, 34, 35, 37, 38, 39, 41, 43, 44, 45, 46, 47, 49, 50, etc. Que sont les nombres amicaux ? Deux nombres sont amicaux si la somme de leur diviseurs est la même et si la somme des deux nombres est égale à la somme de leurs diviseurs. Exemple 220 est amical avec 284 ils sont amis 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 + 220 = 504

33 3 20 20 59 64